Question

【题目】如图，射线AM平行于射线BN，∠B=90°，AB=4，C是射线BN上的一个动点，连接AC，作CD⊥AC，且AC=2CD，过C作CE⊥BN交AD于点E，设BC长为a．

（1）求△ACD的面积（用含a的代数式表示）；
（2）求点D到射线BN的距离（用含有a的代数式表示）；
（3）是否存在点C，使△ACE是以AE为腰的等腰三角形？若存在，请求出此时a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在Rt△ABC中，AB=4，BC=a，

∴AC= = ，

∴CD= AC= ，

∵∠ACD=90°，

∴S△ACD= ACCD=

（2）

解：如图1，过点D作DF⊥BN于点F，

∵∠FDC+∠FCD=90°，∠FCD+∠ACB=180°﹣90°=90°，

∴∠FDC=∠ACB，

∵∠B=∠DFC=90°，

∴∠FDC=∠ACB，

∵∠B=∠DFC=90°，

∴△DFC∽△CBA，

∴ ，

∴DF= BC= a，

∴D到射线BN的距离为 a

（3）

解：存在，①当EC=EA时，

∵∠ACD=90°，

∴EC=EA= AD，

∵AB∥CE∥DF，

∴BC=FC=a，

由（2）知，△DFC∽△CBA，

∴ ，

∴FC= AB=2，

∴a=2，

②当AE=AC时，如图2，AM⊥CE，

∴∠1=∠2，

∵AM∥BN，

∴∠2=∠4，

∴∠1=∠4，

由（2）知，∠3=∠4，

∴∠1=∠3，

∵∠AGD=∠DFC=90°，

∴△ADG∽△DCF，

∴ ，

∵AD= = ，AG=a+2，CD= ，

∴ ，

∴a=4 +8，

即：满足条件的a的值为2或4 +8．

【解析】（1）先根据勾股定理得出AC，进而得出CD，最后用三角形的面积公式即可；（2）先判断出∠FDC=∠ACB，进而判断出△DFC∽△CBA，得出 ，即可求出DF，即可；（3）分两种情况利用相似三角形的性质建立方程求解即可得出结论．
【考点精析】本题主要考查了三角形的面积和勾股定理的概念的相关知识点，需要掌握三角形的面积=1/2×底×高；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能正确解答此题．