Question

【题目】如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．

（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∵AC平分∠PAE，

∴∠DAC=∠CAO，

∴∠DAC=∠OCA，

∴PB∥OC，

∵CD⊥PA，

∴CD⊥OC，CO为⊙O半径，

∴CD为⊙O的切线

（2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F，

∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，

∴四边形DCOF为矩形，

∴OC=FD，OF=CD．

∵DC+DA=6，

设AD=x，则OF=CD=6﹣x，

∵⊙O的直径为10，

∴DF=OC=5，

∴AF=5﹣x，

在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2．

即（5﹣x）2+（6﹣x）2=25，

化简得x2﹣11x+18=0，

解得x1=2，x2=9．

∵CD=6﹣x大于0，故x=9舍去，

∴x=2，

从而AD=2，AF=5﹣2=3，

∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，

∴AB=2AF=6．

【解析】（1）根据切线的判定方法只要得到CD⊥OC即可；根据等角对等边，得到∠OCA=∠OAC，根据角平分线定义AC平分∠PAE，得到∠DAC=∠CAO，∠DAC=∠OCA，得到PB∥OC，由CD⊥PA，得到CD⊥OC，即CD为⊙O的切线；（2）由辅助线得到四边形DCOF为矩形，根据矩形的性质得到OC=FD，OF=CD，因为⊙O的直径为10，求出DF=OC，AF，在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2，，从而求出AD，AF的值，由OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，求出AB=2AF即可．