Question

【题目】如图，一个直角三角形纸片的顶点A在∠MON的边OM上移动，移动过程中始终保持AB⊥ON于点B，AC⊥OM于点A．∠MON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点.

（1）点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系，并说明理由.

（2）点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，猜想线段DF和AE有怎样的关系，并说明理由．

（3）若∠MON＝45°，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想.

Answer 1

【答案】(1)、AD=AE，理由见解析；(2)、AE＝DF，AE∥DF；理由见解析；(3)、OC＝AC＋AD，理由见解析.

【解析】

试题分析：(1)、根据AB⊥ON，AC⊥OM得出∠OAB＝∠ACB，根据角平分线得出∠AOP＝∠COP，从而得出∠ADE＝∠AED，得出答案；(2)、根据点F与点A关于OP所在的直线对称得出AD＝FD，AE＝EF，然后证明△ADE和△FED全等，从而得出答案；(3)、延长EA到G点，使AG＝AE，根据角度之间的关系得出CG=OC，根据(1)的结论得出AD=AE，根据AD=AE=AG得出答案.

试题解析：(1)、AD＝AE

∵AB⊥ON，AC⊥OM． ∴∠OAB＋∠BAC＝90°，∠BAC＋∠ACB＝90°． ∴∠OAB＝∠ACB．

∵OP平分∠MON， ∴∠AOP＝∠COP． ∵∠ADE＝∠AOP＋∠OAB，∠AED＝∠COP＋∠ACB， ∴∠ADE＝∠AED．

(2)、AE＝DF，AE∥DF．

∵点F与点A关于OP所在的直线对称，∴AD＝FD，AE＝EF，

∵AD＝AE，∴AD＝FD＝AE＝EF，∵DE＝DE， ∴△ADE≌△FED，∴∠AED＝∠FDE，AE＝DF，∴AE∥DF．

(3)、OC＝AC＋AD

延长EA到G点，使AG＝AE

∵∠OAE＝90°∴OA⊥GE，∴OG＝OE，∴∠AOG＝∠EOA ∵∠AOC＝45°，OP平分∠AOC ∴∠AOE＝22.5°

∴∠AOG＝22.5°，∠G＝67.5° ∴∠COG＝∠G＝67.5° ∴CG＝OC 由（1）得AD＝AE

∵AD＝AE＝AG ∴AC＋AD＝OC