Question

【题目】如图，弦BE与弦CD交于点G，点E为 的中点，过点B的直线交DC延长线于点A，AB∥DE．

（1）若AB=AG，求证：AB是⊙O切线；
（2）在（1）条件下，若tanA= ，DE=10，求⊙O的半径．
（3）求证：AG2﹣BG2=ACAG．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1中，连接OB、OE交AD于F．

∵ = ，

∴OE⊥CD，

∴∠EFG=90°，

∴∠GEF+∠EGF=90°，

∵AB=AG，

∴∠ABG=∠AGB=∠EGF，

∵OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB，

∴∠ABG+∠OBE=90°，

∴∠ABO=90°

∴AB是⊙O的切线．

（2）解：如图2中，连接OD．

∵AB∥DE，

∴∠A=∠ADE，

在Rt△DFE中，tan∠DFE= = ，设EF=3k，DF=4k，则DE=5k，

由题意DE=10，

∴5k=10，

∴k=2，

∴EF=6，DF=8，

设⊙O的半径为r，

在Rt△ODF中，∵OD2=OF2+DF2，

∴r2=（r﹣6）2+82，

∴r= ．

（3）证明：如图3中，连接BC．

∵AB∥DE，

∴∠A=∠ADE，

∵∠CBG=∠ADE，

∴∠CBG=∠A，∵∠BGC=∠AGB，

∴△BGC∽△AGB，

∴ = ，

∴BG2=AGCG，

∴AG2﹣BG2=AG2﹣AGCG=AG（AG﹣CG）=AGAC．

【解析】（1）连接OB、OE交AD于F．首先依据垂径定理的推理可得到∠EFG=90°，则∠GEF+∠EGF=90°，接下来，再证明∠ABG=∠EGF，∠OBE=∠OEB，依据等式的性质可证明∠ABG+∠OBE=90°，最后依据切线的判定定理进行证明即可；
（2）连接OD．在Rt△DFE中，设EF=3k，DF=4k，依据勾股定理可知DE=5k，由题意DE=10，可得k=2，推出EF=6，DF=8，设⊙O的半径为r，在Rt△ODF中，根据OD2=OF2+DF2列出关于r的方程求解即可；
（3）连接BC．首先证明△BGC∽△AGB，依据相似三角形的性质可得到BG2=AGCG，将BG2=AGCG代入变形即可.