Question

【题目】如图，在ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）∠ADB的角平分线DE交AB于点E，当AD＝3，tan∠CAB＝时，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

(1)由平行四边形性质和已知条件得出AC＝BD，即可得出结论；

(2)过点E作EG⊥BD于点G，由角平分线的性质得出EG＝EA．由三角函数定义得出AB＝4，sin∠CAB＝sin∠ABD＝，设AE＝EG＝x，则BE＝4﹣x，在Rt△BEG中，由三角函数定义得出，即可得出答案．

(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AC＝2AO，BD＝2BO．

∵AO＝BO，

∴AC＝BD．

∴平行四边形ABCD为矩形．

(2)过点E作EG⊥BD于点G，如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB＝90°，

∴EA⊥AD，

∵DE为∠ADB的角平分线，

∴EG＝EA．

∵AO＝BO，

∴∠CAB＝∠ABD．

∵AD＝3，tan∠CAB＝，

∴tan∠CAB＝tan∠ABD＝＝．

∴AB＝4．

∴BD＝，sin∠CAB＝sin∠ABD＝．

设AE＝EG＝x，则BE＝4﹣x，

在△BEG中，∠BGE＝90°，

∴sin∠ABD＝．

解得：x＝，

∴AE＝．

故答案为：.