Question

【题目】矩形ABCD中，∠DBA=60°，把△ABD绕点B逆时针旋转使得点A落在BD上，点A对称点为点A1，点D对称点为点D1，A1 D1与BC交于点E，连接D1C．

（1）求证：EC=EA1；

（2）求证：点D1、C、D在同一直线上．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

试题分析：（1）利用矩形的性质得∠ADB=∠DBC=30°，AD=BC，再根据旋转的性质得∠A1 BD1=∠ABD=60°，A1 D1=AD=BC，∠BD1 A1=∠ADB=30°，则∠D1B C=∠A1 BD1﹣∠DBC=30°，于是根据等腰三角形的判定得BE=ED1，所以EC=E A1；

（2）利用“SAS”可证明△B E A1≌△∠CED1，则∠D1CE=∠B A1 E=90°，所以∠D1CE+∠BCD=180°，于是可判断点D1、C、D在同一直线上．

（1）证明：∵矩形ABCD中，∠DBA=60°，

∴∠ADB=∠DBC=30°，AD=BC，

∵△BA1 D1是△ABD绕点B逆时针旋转所得，且点A落在BD上，

∴∠A1 BD1=∠ABD=60°，A1 D1=AD=BC，∠BD1 A1=∠ADB=30°，

∴∠D1B C=∠A1 BD1﹣∠DBC=60°﹣30°=30°，

∴∠D1B E=∠ED1B，

∴BE=ED1，

∴BC﹣BE=A1 D1﹣ED1，

∴EC=E A1；

（2）证明：在△B E A1和△∠CED1 中，

，

∴△B E A1≌△∠CED1，

∴∠D1CE=∠B A1 E=90°，

∴∠D1CE+∠BCD=90°+90°=180°，

∴点D1、C、D在同一直线上．