Question

【题目】有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．
（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝ ∠D，∠C＝ ∠A，求∠B与∠C的度数之和；

（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO．∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE＝2∠EAF．

求证：四边形DBCF是半对角四边形；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G．当DH＝BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在半对角四边形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A.

∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，

∴3∠B+3∠C=360°.

∴∠B+∠C=120°.

即∠B与∠C的度数之和120°.

（2）

证明：在△BED和△BEO中，

.

∴△BED≌△BEO（SAS）.

∴∠BDE=∠BOE.

又∵∠BCF=∠BOE.

∴∠BCF=∠BDE.

如下图，连结OC.

设∠EAF=.则∠AFE=2∠EAF=2.

∴∠EFC=180°-∠AFE=180°-2.

∵OA=OC,

∴∠OAC=∠OCA=.

∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2.

∴∠ABC=∠AOC=∠EFC.

∴四边形DBCF是半对角四边形.

（3）

解：如下图，作过点OM⊥BC于点M.

∵四边形DBCF是半对角四边形，

∴∠ABC+∠ACB=120°.

∴∠BAC=60°.

∴∠BOC=2∠BAC=120°.

∵OB=OC

∴∠OBC=∠OCB=30°.

∴BC=2BM=BO=BD.

∵DG⊥OB,

∴∠HGB=∠BAC=60°.

∵∠DBG=∠CBA,

∴△DBG△CBA.

∴ =2=.

∵DH=BG,BG=2HG.

∴DG=3HG.

∴=

∴=.

【解析】（1）在半对角四边形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A；根据四边形的内角和为360°，得出∠B与∠C的度数之和.
（2）如图连接OC，根据条件先证△BED≌△BEO，再根据全等三角形的性质得出∠BCF=∠BOE=∠BDE；设∠EAF=.则∠AFE=2∠EAF=2得出∠EFC=180°-∠AFE=180°-2；再根据OA=OC得出∠OAC=∠OCA= ， 根据三角形内角和得出∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2；从而得证.
（3）如下图，作过点OM⊥BC于点M，由四边形DBCF是半对角四边形，得出∠ABC+∠ACB=120°，∠BAC=60°.∠BOC=2∠BAC=120°；再由OB=OC，得出∠OBC=∠OCB=30°.BC=2BM=BO=BD；根据△DBG～△CBA得出答案.
【考点精析】掌握三角形的内角和外角和等腰三角形的性质是解答本题的根本，需要知道三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．