Question

【题目】如图在平行四边形ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD，点F为DC中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF，其中正确的有_____．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．想办法证明EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题．

如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．

∵CD＝2AD，DF＝FC，

∴CF＝CB，

∴∠CFB＝∠CBF，

∵CD∥AB，

∴∠CFB＝∠FBH，

∴∠CBF＝∠FBH，

∴∠ABC＝2∠ABF．故①正确，

∵DE∥CG，

∴∠D＝∠FCG，

∵DF＝FC，∠DFE＝∠CFG，

∴△DFE≌△FCG（AAS），

∴FE＝FG，

∵BE⊥AD，

∴∠AEB＝90°，

∵AD∥BC，

∴∠AEB＝∠EBG＝90°，

∴BF＝EF＝FG，故②正确，

∵S△DFE＝S△CFG，

∴S四边形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，故③正确，

∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，

∴CF＝BH，∵CF∥BH，

∴四边形BCFH是平行四边形，

∵CF＝BC，

∴四边形BCFH是菱形，

∴∠BFC＝∠BFH，

∵FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，

∴FH⊥BE，

∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，

∴∠EFC＝3∠DEF，故④正确，

故答案为：①②③④