Question

【题目】有下列命题

①一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．

②两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

③一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形．

④一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形．

（1）上述四个命题中，是真命题的是　 　（填写序号）；

（2）请选择一个真命题进行证明．（写出已知、求证，并完成证明）

已知：　 　．

求证：　 　．

证明：

Answer 1

【答案】（1）①②④（2）在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D；四边形ABCD是平行四边形

【解析】

（1）根据平行线的判定定理写出真命题；

（2）乙②为例，写出已知、求证．利用四边形的内角和和已知条件中的对角相等得到邻角互补，从而判定两组对边平行，进而证得结论．

（1）①一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．故正确；

②两组对角分别相等的四边形是平行四边形．故正确；

③一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形．故错误；

④一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形．故正确．

故答案是：①②④；

（2）以②为例：

已知：在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，

求证：四边形ABCD是平行四边形．

证明：∵∠1+∠3＝180°﹣∠A，∠2+∠4＝180°﹣∠C，∠A＝∠C，

∴∠1+∠3＝∠2+∠4．①

∵∠ABC＝∠ADC，

即∠1+∠2＝∠3+∠4，②

由①②相加、相减得：∠1＝∠4，∠2＝∠3．

∴AB∥CD，AD∥BC．

∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．

故答案是：在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D；四边形ABCD是平行四边形．