Question

【题目】(2016湖南省岳阳市第24题)如图①，直线y=x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B（1，0）．

（1）求抛物线F1所表示的二次函数的表达式；

（2）若点M是抛物线F1位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S四边形MAOC和S△BOC，记S=S四边形MAOC﹣S△BOC，求S最大时点M的坐标及S的最大值；

（3）如图②，将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2，点A、B与（2）中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)、y=﹣x2﹣x+4；(2)、最大值为；M（﹣，5）；(3)、（2，0）或（﹣，0）

【解析】

试题分析：(1)、利用一次函数的解析式求出点A、C的坐标，然后再利用B点坐标即可求出二次函数的解析式；(2)、由于M在抛物线F1上，所以可设M（a，﹣a2﹣a+4），然后分别计算S四边形MAOC和S△BOC，过点M作MD⊥x轴于点D，则S四边形MAOC的值等于△ADM的面积与梯形DOCM的面积之和；(3)、由于没有说明点P的具体位置，所以需要将点P的位置进行分类讨论，当点P在A′的右边时，此情况是不存在；当点P在A′的左边时，此时∠DA′P=∠CAB′，若以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似，则分为以下两种情况进行讨论：①=；②=．

试题解析：(1)、令y=0代入y=x+4， ∴x=﹣3， A（﹣3，0），

令x=0，代入y=x+4， ∴y=4， ∴C（0，4），

设抛物线F1的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1），

把C（0，4）代入上式得，a=﹣， ∴y=﹣x2﹣x+4，

(2)、如图①，设点M（a，﹣a2﹣a+4） 其中﹣3＜a＜0 ∵B（1，0），C（0，4）， ∴OB=1，OC=4

∴S△BOC=OBOC=2， 过点M作MD⊥x轴于点D， ∴MD=﹣a2﹣a+4，AD=a+3，OD=﹣a，

∴S四边形MAOC=ADMD+（MD+OC）OD=ADMD+ODMD+ODOC=+=+

=×3（﹣a2﹣a+4）+×4×（﹣a）=﹣2a2﹣6a+6

∴S=S四边形MAOC﹣S△BOC=（﹣2a2﹣6a+6）﹣2=﹣2a2﹣6a+4=﹣2（a+）2+

∴当a=﹣时， S有最大值，最大值为 此时，M（﹣，5）；

(3)、如图②，由题意知：M′（），B′（﹣1，0），A′（3，0） ∴AB′=2

设直线A′C的解析式为：y=kx+b， 把A′（3，0）和C（0，4）代入y=kx+b，得：，∴

∴y=﹣x+4， 令x=代入y=﹣x+4， ∴y=2 ∴

由勾股定理分别可求得：AC=5，DA′= 设P（m，0）

当m＜3时， 此时点P在A′的左边， ∴∠DA′P=∠CAB′， 当=时，△DA′P∽△CAB′，

此时， =（3﹣m）， 解得：m=2， ∴P（2，0）

当=时，△DA′P∽△B′AC， 此时， =（3﹣m） m=﹣， ∴P（﹣，0）

当m＞3时， 此时，点P在A′右边， 由于∠CB′O≠∠DA′E， ∴∠AB′C≠∠DA′P

∴此情况，△DA′P与△B′AC不能相似，

综上所述，当以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似时，点P的坐标为（2，0）或（﹣，0）．