Question

【题目】（1）问题发现：如图（1），已知：在三角形中，,,直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，试写出线段和之间的数量关系为_________________．

（2）思考探究：如图（2），将图（1）中的条件改为：在中, 三点都在直线上，并且，其中为任意锐角或钝角．请问（1）中结论还是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）拓展应用：如图（3），是三点所在直线上的两动点，（三点互不重合），点为平分线上的一点，且与均为等边三角形，连接，若，试判断的形状并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）DE=CE+BD；（2）成立，理由见解析；（3）△DEF为等边三角形，理由见解析.

【解析】

（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而根据AAS证明△ABD与△CAE全等，然后进一步求解即可；

（2）根据，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB与△CEA中，根据AAS证明二者全等从而得出AE=BD，AD=CE，然后进一步证明即可；

（3）结合之前的结论可得△ADB与△CEA全等，从而得出BD=AE，∠DBA=∠CAE，再根据等边三角形性质得出∠ABF=∠CAF=60°，然后进一步证明△DBF与△EAF全等，在此基础上进一步证明求解即可.

（1）∵直线，直线，

∴∠BDA=∠AEC=90°，

∴∠BAD+∠ABD=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°，

∴∠CAE=∠ABD，

在△ABD与△CAE中，

∵∠ABD=∠CAE，∠BDA=∠AEC，AB=AC，

∴△ABD≌△CAE(AAS)，

∴BD=AE，AD=CE，

∵DE=AD+AE，

∴DE=CE+BD，

故答案为：DE=CE+BD；

（2）（1）中结论还仍然成立，理由如下：

∵，

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°α，

∴∠CAE=∠ABD，

在△ADB与△CEA中，

∵∠ABD=∠CAE，∠ADB=∠CEA，AB=AC，

∴△ADB≌△CEA(AAS)，

∴AE=BD，AD=CE，

∴BD+CE=AE+AD=DE，

即：DE=CE+BD，

（3）为等边三角形，理由如下：

由（2）可知：△ADB≌△CEA，

∴BD=EA，∠DBA=∠CAE，

∵△ABF与△ACF均为等边三角形，

∴∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF，

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+CAF，

∴∠DBF=∠FAE，

在△DBF与△EAF中，

∵FB=FA，∠FDB=∠FAE，BD=AE，

∴△DBF≌△EAF(SAS)，

∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，

∴△DEF为等边三角形.