Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB= ，把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，则点A，E之间的距离为 ．

Answer 1

【答案】4
【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB= ， ∴BC=ABcosB=9× =6，AC= =3 ．
∵把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，
∴△ABC≌△EDC，BC=DC=6，AC=EC=3 ，∠BCD=∠ACE，
∴∠B=∠CAE．
作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，则∠BCM= ∠BCD，∠ACN= ∠ACE，
∴∠BCM=∠ACN．
∵在△ANC中，∠ANC=90°，AC=3 ，cos∠CAN=cosB= ，
∴AN=ACcos∠CAN=3 × =2 ，
∴AE=2AN=4 ．
所以答案是4 ．

【考点精析】关于本题考查的解直角三角形和旋转的性质，需要了解解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了才能得出正确答案．