Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2=CECB．
（1）求证：AE⊥CD；
（2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF=∠EAB．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AC2=CECB，

∴ ．

又∵∠ACB=∠ECA=90°

∴△ACB∽△ECA，

∴∠ABC=∠EAC．

∵点D是AB的中点，

∴CD=AD，

∴∠ACD=∠CAD

∵∠CAD+∠ABC=90°，

∴∠ACD+∠EAC=90°

∴∠AFC=90°，

∴AE⊥CD

（2）证明：∵AE⊥CD，

∴∠EFC=90°，

∴∠ACE=∠EFC

又∵∠AEC=∠CEF，

∴△ECF∽△EAC

∴

∵点E是BC的中点，

∴CE=BE，

∴

∵∠BEF=∠AEB，

∴△BEF∽△AEB

∴∠EBF=∠EAB．

【解析】（1）先根据题意得出△ACB∽△ECA，再由直角三角形的性质得出CD=AD，由∠CAD+∠ABC=90°可得出∠ACD+∠EAC=90°，进而可得出∠AFC=90°；（2）根据AE⊥CD可得出∠EFC=90°，∠ACE=∠EFC，故可得出△ECF∽△EAC，再由点E是BC的中点可知CE=BE，故 ，根据∠BEF=∠AEB得出△BEF∽△AEB，进而可得出结论．