Question

【题目】如图，四边形OABC的四个顶点坐标分别为O（0，0），A（8，0），B（4，4），C（0，4），直线l：y=x+b保持与四边形OABC的边交于点M、N（M在折线AOC上，N在折线ABC上）．设四边形OABC在l右下方部分的面积为S1 ， 在l左上方部分的面积为S2 ， 记S为S1、S2的差（S≥0）．

（1）求∠OAB的大小；
（2）当M、N重合时，求l的解析式；
（3）当b≤0时，问线段AB上是否存在点N使得S=0？若存在，求b的值；若不存在，请说明理由；
（4）求S与b的函数关系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：过点B过BE⊥x轴，垂足为E．点E（4，0），

∴BE=4，AE=4，

∴△ABE为等腰直角三角形，

∴∠OAB=45°，

答：∠OAB=45°．

（2）

解：当点M、N重合到点C（0，4），

把C（0，4）代入y=x+b得：b=4，

∴直线l的解析式y=x+4；

当点M、N重合到点A（8，0）时，把（8，0）带入y=x+b得b=﹣8，

∴直线l的解析式为y=x﹣8．

（3）

解：四边形OABC的面积为 ×4（4+8）=24，

直线l：y=x+b与x轴的交角为45°，△AMN为等腰直角三角形．

当S=0时，△AMN的面积为四边形OABC的面积的一半，即12．

过点N作x轴的垂线NH，

则NH=AH=MH，

设NH=a，

×2a×a=12，

解得：a=2 ，

∴OH=8﹣2 ，

∴点N的坐标为（8﹣2 ，2 ），

代入y=x+b得：b=4 ﹣8．

答：当b≤0时，线段AB上存在点N使得S=0，b的值是4 ﹣8．

（4）

解：分为三种情况：

①如图在N1、M1时，当4 ﹣8≤b＜0时，

OM=﹣b，AM=8﹣（﹣b）=8+b，

设直线AB的解析式是y=cx+d，

把A（8，0），B（4，4）代入得： ，

解得： ，

y=﹣x+8，

解方程组 得： ，

S1= AM×NH= ×2× × = b2+4b+16；

S2=24﹣S1，4

S=|S1﹣S2|= b2+4b+16﹣[24﹣（ b2+4b+16）]= b2+8b+8，

②当0≤b≤4时，如图在N2、M2点时，OM=b，CM=4﹣b，

S2= （4﹣b）2，S1=24﹣S2，

S=S1﹣S2=﹣b2+8b+8，

③﹣8＜a＜﹣8+4 时，如图，在N3、M3时，S1= ×2× × = b2+4b+16；

S2=24﹣S1，

S=S2﹣S1=[24﹣（ b2+4b+16）]﹣（ b2+4b+16）=﹣ b2+8b+8．

综上可得，S= ．

【解析】（1）过点B过BE⊥x轴，垂足为E．求出点E的坐标，求出等腰直角三角形ABE即可；（2）把A（8，0）C（0，4）点代入y=x+b求出即可；（3）求出梯形的面积，过点N作x轴的垂线NH，得到NH=AH=MH，设NH=a，代入面积公式求出a，代入解析式求出b即可；（4）分为三种情况：①当0≤b≤4时，②当4 ﹣8≤b＜0时，③③﹣8＜a＜﹣8+4 时，设直线AB的解析式是y=cx+d，把A（8，0），B（4，4）代入求出解析式，解两直线组成的方程组，求出交点坐标，根据梯形和三角形的面积求出S即可．
【考点精析】掌握一次函数的图象和性质是解答本题的根本，需要知道一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反；k的绝对值越大,线离横轴就越远．