Question

【题目】如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点(与A不重合)，BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C、D.

(1)求∠CBD的度数；

(2)当点P运动时，∠APB∶∠ADB的度数比值是否发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；

(3)当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）不变，∠APB∶∠ADB＝2∶1.，理由见解析；（3）∠ABC＝30°

【解析】（1）由平行线的性质可求得∠ABN，再根据角平分线的定义和整体思想可求得∠CBD；

（2）由平行线的性质可得∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，再由角平分线的定义可求得结论；

（3）由平行线的性质可得到∠ACB=∠CBN，结合条件可得到∠DBN=∠ABC，且∠ABC+∠DBN=60°，可求得∠ABC的度数．

解：(1)∵AM∥BN，∠A＝60°，

∴∠ABN＝180°－60°＝120°，

∴∠ABP＋∠PBN＝120°.

∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，

∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，

∴2∠CBP＋2∠DBP＝120°，

∴∠CBD＝∠CBP＋∠DBP＝60°.

(2)不变，∠APB∶∠ADB＝2∶1.理由如下，

∵AM∥BN，

∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN.

∵BD平分∠PBN，

∴∠PBN＝2∠DBN，

∴∠APB∶∠ADB＝2∶1.

(3)∵AM∥BN，

∴∠ACB＝∠CBN，

当∠ACB＝∠ABD时，

则有∠CBN＝∠ABD，

∴∠ABC＋∠CBD＝∠CBD＋∠DBN，

∴∠ABC＝∠DBN.

由(1)可知∠ABN＝120°，∠CBD＝60°，

∴∠ABC＋∠DBN＝60°，

∴∠ABC＝30°.