Question

【题目】如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N，
（1）若△CMN的周长为21cm，求AB的长；
（2）若∠MCN=50°，求∠ACB的度数．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，

∴AM=CM，CN=BN，

∵△CMN的周长为18cm，即CM+CN+MN=18，

∴AM+BN+MN=AB=18cm．

∴AB=18cm．

（2）解：∵DM垂直平分AC，

∴∠1=∠2，

∵EN垂直平分BC，

∴∠3=∠4，

又∵∠1+∠2+∠3+∠4+50°=180°，

则2（∠1+∠4）=180°﹣50°=130°，

∠1+∠4═65°，

∴∠ACB=（∠1+∠4）+∠MCN=65°+50°=115°．

【解析】（1）根据△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，可知AM=CM，CN=BN，可知△CMN的周长即为AB的长．（2）根据垂直平分线的性质可知，∠1=∠2，∠3=∠4，根据三角形的内角和定理，整体求出∠1+∠4的值，进而可得∠ACB的度数．
【考点精析】掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的根本，需要知道垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．