Question

【题目】我们知道：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．你可以利用这一结论解决问题：
如图，点P在以MN（南北方向）为直径的⊙O上，MN=8，PQ⊥MN交⊙O于点Q，垂足为H，PQ≠MN，弦PC、PD分别交MN于点E、F，且PE=PF．

（1）比较 与 的大小；
（2）若OH=2 ，求证：OP∥CD；
（3）设直线MN、CD相交所成的锐角为α，试确定cosα= 时，点P的位置．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PE=PF，PH⊥EF，

∴PH平分∠FPE，

∴∠DPQ=∠CPQ，

∴ = ；

（2）证明：连结CD、OP、OQ，OQ交CD于B，如图，

∵OH=2 ，OP=4，

∴PH= =2 ，

∴△OPH为等腰直角三角形，

∴∠OPQ=45°，

而OP=OQ，

∴△OPQ为等腰直角三角形，

∴∠POQ=90°，

∴OP⊥OQ，

∵ = ，

∴OQ⊥CD，

∴OP∥CD

（3）解：直线CD交MN于A，如图，

∵cosα= ，

∴∠α=30°，即直线MN、CD相交所成的锐角为30°，

而OB⊥CD，

∴∠AOB=60°，

∵OH⊥PQ，

∴∠POH=60°，

在Rt△POH中，∵sin∠POH= ，

∴PH=4sin60°=2 ，

即点P到MN的距离为2 ．

【解析】（1）根据等腰三角形的性质，由PE=PF，PH⊥EF可判断PH平分∠FPE，然后根据圆中角定理得到 = ；（2）连结CD、OP、OQ，OQ交CD于B，如图，先计算出PH=2 ，则可判断△OPH为等腰直角三角形得到∠OPQ=45°，再判断△OPQ为等腰直角三角形得到∠POQ=90°，然后根据垂径的推理由 = 得到OQ⊥CD，则根据平行线的判定方法得OP∥CD；（3）直线CD交MN于A，如图，由特殊角的三角函数值得∠α=30°，即直线MN、CD相交所成的锐角为30°，利用OB⊥CD得到∠AOB=60°，则∠POH=60°，然后在Rt△POH中利用正弦的定义计算出PH即可．本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理及其推理、圆周角定理；能够灵活应用等腰直角三角形的性质和三角函数进行几何计算．