Question

【题目】如图，抛物线y=（其中m＞1）与其对称轴l相交于点P，与y轴相交于点A（0，m）．点A关于直线l的对称点为B，作BC⊥x轴于点C，连接PC、PB，与抛物线、x轴分别相交于点D、E，连接DE．将△PBC沿直线PB翻折，得到△PBC′．

（1）该抛物线的解析式为 ； （用含m的式子表示）；

（2）探究线段DE、BC的关系，并证明你的结论；

（3）直接写出C′点的坐标（用含m的式子表示）．

Answer 1

【答案】(1)y=；(2)DE=BC，理由详见解析；(3)（，）．

【解析】

试题分析：（1）将点A的坐标代入抛物线解析式，即可求出a的值；

（2）根据抛物线的解析式，求出顶点P的坐标，根据对称轴，求出点B，C的坐标，根据待定系数法求出直线BP、CP的解析式，求出点D、E的坐标，进而求出DE，BC的长度，即可解得；

（3）连接CC′交直线BP于点F，则CC′⊥BP，且CF=C′F，求出CC′的解析式，进而求得点F的坐标，根据CF=C′F，即可解答．

试题解析：（1）把点A（0，m）代入y=，

得：﹣m=m，

am﹣1=0，

∵am＞1，

∴a=，

∴y=，

故答案为：y=；

（2）DE=BC．

理由：又抛物线y=，可得抛物线的顶点坐标P（，﹣m），

由l：x=，可得：点B（，m），

∴点C（，0）．

设直线BP的解析式为y=kx+b，点P（，﹣m）和点B（，m）在这条直线上，

得：，解得：，

∴直线BP的解析式为：y=﹣3m，

令y=0，﹣3m=0，解得：x=，

∴点D（，0）；

设直线CP的解析式为y=x+，点P（，﹣m）和点C（，0）在这条直线上，

得：，解得：，

∴直线CP的解析式为：y=﹣2m；

抛物线与直线CP相交于点E，可得：，解得：，（舍去），

∴点E（，）；

∵，

∴DE⊥x轴，

∴DE==，BC==m=2DE，

即DE=BC；

（3）C′（，）．

连接CC′，交直线BP于点F，

∵BC′=BC，∠C′BF=∠CBF，

∴CC′⊥BP，CF=C′F，

设直线BP的解析式为y=kx+b，点B（，m），P（，﹣m）在直线上，

∴，解得：，

∴直线BP的解析式为：y=﹣3m，

∵CC′⊥BP，

∴设直线CC′的解析式为：y=，

∴，解得：=2m，

联立①②，得：，解得：，

∴点F（，），

∴CF==，

设点C′的坐标为（a，），

∴C′F==，解得：a=，

∴=，

∴C′（，）．