Question

【题目】（1）如图，AD平分∠BAC，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O.请问：DO是∠EDF的平分线？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

（2）若将（1）中的结论与①AD平分∠BAC；②DE∥AB；③DF∥AC这三个条件中的任一个互换，所得命题正确吗？请选择一种情况说明理由.

Answer 1

【答案】（1）是,理由见解析；（2）正确，理由见解析.

【解析】

（1）DE∥AB，DF∥AC得到平行四边形AFDE，因为∠EAD=∠FAD和DE∥AB，推出∠EAD=EDA，得出AE=DE，即可得到答案；

（2）①如和AD是∠CAB的角平分线交换，正确，理由与（1）证明过程相似；②如和DE∥AB交换，根据平行线的性质得到∠FDA=∠EAD，根据AD是∠CAB的角平分线，DO是∠EDF的角平分线，推出∠EAF=∠EDF，由平行线的性质得到∠AEF=∠DFE，根据三角形的内角和定理即可求出∠DEF=∠AFE，根据平行线的判定即可推出答案；③如和AE∥DF交换，正确理由与②类似．

（1）DO是∠EDF的角平分线，证明如下：

∵DE∥AB，DF∥AC，

∴四边形AFDE是平行四边形，

∵AD是∠CAB的角平分线，

∴∠EAD=∠FAD，

∵DE∥AB，

∴∠EDA=∠FAD，

∴∠EAD=∠EDA，

∴AE=DE，

∴平行四边形AFDE是菱形，

∴DO是∠EDF的角平分线；

（2）正确．

①如和AD平分∠BAC交换，正确，理由如下：

∵DE∥AB，DF∥AC，

∴四边形AFDE是平行四边形，

∵DO是∠EDF的角平分线，

∴∠EDO=∠FDO，

∵DE∥AB，

∴∠DAF=∠EDO，

∴∠DAF=∠FDO，

∴AF=DF，

∴平行四边形AFDE是菱形，

∴AD是∠BAC的角平分线；

②如和DE∥AB交换，正确，理由如下：

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAD=∠FAD ，

∵DO是∠EDF的平分线，

∴∠EDA=∠FDA ，

∵DF∥AC，

∴∠EAD=∠FDA ，

∴∠FAD=∠EDA，

∴DE∥AB；

③如和DF∥AC交换，正确，理由如下：

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAD=∠FAD，

∵DO是∠EDF的平分线，

∴∠EDA=∠FDA，

∵DE∥AB，

∴∠EDA=∠FAD，

∴∠EAD=∠FDA，

∴DE∥AB，

综上可知：将（1）中的结论与①AD平分∠BAC；②DE∥AB；③DF∥AC这三个条件中的任一个互换，所得命题正确.