Question

【题目】将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点 ，点B（0，1），点O（0，0）．P是边AB上的一点（点P不与点A，B重合），沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A'．
（1）如图①，当点A'在第一象限，且满足A'B⊥OB时，求点A'的坐标；

（2）如图②，当P为AB中点时，求A'B的长；

（3）当∠BPA'=30°时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点 ，点B（0，1），

∴OA= ，OB=1，

由折叠的性质得：OA'=OA= ，

∵A'B⊥OB，

∴∠A'BO=90°，

在Rt△A'OB中，A'B= = ，

∴点A'的坐标为（ ，1）；

（2）

解：在Rt△ABO中，OA= ，OB=1，

∴AB= =2，

∵P是AB的中点，

∴AP=BP=1，OP= AB=1，

∴OB=OP=BP

∴△BOP是等边三角形，

∴∠BOP=∠BPO=60°，

∴∠OPA=180°﹣∠BPO=120°，

由折叠的性质得：∠OPA'=∠OPA=120°，PA'=PA=1，

∴∠BOP+∠OPA'=180°，

∴OB∥PA'，

又∵OB=PA'=1，

∴四边形OPA'B是平行四边形，

∴A'B=OP=1；

（3）

解：设P（x，y），分两种情况：

①如图③所示：点A'在y轴上，

在△OPA'和△OPA中， ，

∴△OPA'≌△OPA（SSS），

∴∠A'OP=∠AOP= ∠AOB=45°，

∴点P在∠AOB的平分线上，

设直线AB的解析式为y=kx+b，

把点 ，点B（0，1）代入得： ，

解得： ，

∴直线AB的解析式为y=﹣ x+1，

∵P（x，y），

∴x=﹣ x+1，

解得：x= ，

∴P（ ， ）；

②如图④所示：

由折叠的性质得：∠A'=∠A=30°，OA'=OA，

∵∠BPA'=30°，

∴∠A'=∠A=∠BPA'，

∴OA'∥AP，PA'∥OA，

∴四边形OAPA'是菱形，

∴PA=OA= ，作PM⊥OA于M，如图④所示：

∵∠A=30°，

∴PM= PA= ，

把y= 代入y=﹣ x+1得： =﹣ x+1，

解得：x= ，

∴P（ ， ）；

综上所述：当∠BPA'=30°时，点P的坐标为（ ， ）或（ ， ）．

【解析】（1）由点A和B的坐标得出OA= ，OB=1，由折叠的性质得：OA'=OA= ，由勾股定理求出A'B= = ，即可得出点A'的坐标为（ ，1）；（2）由勾股定理求出AB= =2，证出OB=OP=BP，得出△BOP是等边三角形，得出∠BOP=∠BPO=60°，求出∠OPA=120°，由折叠的性质得：∠OPA'=∠OPA=120°，PA'=PA=1，证出OB∥PA'，得出四边形OPA'B是平行四边形，即可得出A'B=OP=1；（3）分两种情况：①点A'在y轴上，由SSS证明△OPA'≌△OPA，得出∠A'OP=∠AOP= ∠AOB=45°，得出点P在∠AOB的平分线上，由待定系数法求出直线AB的解析式为y=﹣ x+1，即可得出点P的坐标；②由折叠的性质得：∠A'=∠A=30°，OA'=OA，作出四边形OAPA'是菱形，得出PA=OA= ，作PM⊥OA于M，由直角三角形的性质求出PM= PA= ，把y= 代入y=﹣ x+1求出点P的纵坐标即可．
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和翻折变换（折叠问题）的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等才能正确解答此题．