Question

【题目】如图，已知△ABC中，∠C=90°，点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动，到达点B停止运动，在点M的运动过程中，过点M作直线MN交AC于点N，且保持∠NMC=45°，再过点N作AC的垂线交AB于点F，连接MF，将△MNF关于直线NF对称后得到△ENF，已知AC=8cm，BC=4cm，设点M运动时间为t（s），△ENF与△ANF重叠部分的面积为y（cm2）．

（1）在点M的运动过程中，能否使得四边形MNEF为正方形？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；
（2）求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围；
（3）当y取最大值时，求sin∠NEF的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：能使得四边形MNEF为正方形；理由如下：

连接ME交NF于O，如图1所示：

∵∠C=90°，∠NMC=45°，NF⊥AC，

∴CN=CM=t，FN∥BC，

∴AN=8﹣t，△ANF∽△ACB，

∴ = =2，

∴NF= AN= （8﹣t），

由对称的性质得：∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°，MN=NE，OE=OM=CN=t，

∵四边形MNEF是正方形，

∴OE=ON=FN，

∴t= × （8﹣t），

解得：t= ；

即在点M的运动过程中，能使得四边形MNEF为正方形，t的值为 ；

（2）

解：分两种情况：

①当0＜t≤2时，y= × （8﹣t）×t=﹣ t2+2t，

即y=﹣ t2+2t（0＜t≤2）；

②当2＜t≤4时，如图2所示：作GH⊥NF于H，

由（1）得：NF= （8﹣t），GH=NH，GH=2FH，

∴GH= NF= （8﹣t），

∴y= NF′GH= × （8﹣t）× （8﹣t）= （8﹣t）2，

即y= （8﹣t）2（2＜t≤4）；

（3）

解：当点E在AB边上时，y取最大值，

连接EM，如图3所示：

则EF=BF，EM=2CN=2CM=2t，EM=2BM，

∵BM=4﹣t，

∴2t=2（4﹣t），

解得：t=2，

∴CN=CM=2，AN=6，

∴BM=4﹣2=2，NF= AN=3，

∴EM=2BM=4，

作FD⊥NE于D，则EB= = =2 ，△DNF是等腰直角三角形，

∴EF= = ，DF= HF= ，

在Rt△DEF中，sin∠NEF= = = ．

【解析】（1）由已知得出CN=CM=t，FN∥BC，得出AN=8﹣t，由平行线证出△ANF∽△ACB，得出对应边成比例求出NF= AN= （8﹣t），由对称的性质得出∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°，MN=NE，OE=OM=CN=t，由正方形的性质得出OE=ON=FN，得出方程，解方程即可；（2）分两种情况：①当0＜t≤2时，由三角形面积得出y=﹣ t2+2t；②当2＜t≤4时，作GH⊥NF于H，由（1）得：NF= （8﹣t），GH=NH，GH=2FH，得出GH= NF= （8﹣t），由三角形面积得出y= （8﹣t）2（2＜t≤4）；（3）当点E在AB边上时，y取最大值，连接EM，则EF=BF，EM=2CN=2CM=2t，EM=2BM，得出方程，解方程求出CN=CM=2，AN=6，得出BM=2，NF= AN=3，因此EM=2BM=4，作FD⊥NE于D，由勾股定理求出EB= =2 ，求出EF= = ，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出DF= HF= ，在Rt△DEF中，由三角函数定义即可求出sin∠NEF的值．
【考点精析】掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的根本，需要知道相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．