Question

【题目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．

（1）如图1，求DE与BC的数量关系；

（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，∠PDF=60°连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；

Answer 1

【答案】（1）DE=BC．

（2）BF+BP=DE．理由见解析

【解析】试题分析：（1）由∠ACB=90°，∠A=30°得到∠B=60°，根据直角三角形斜边上中线性质得到DB=DC，则可判断△DCB为等边三角形，由于DE⊥BC，DE=BC；

（2）根据旋转的性质得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，则根据“SAS”可判断△DCP≌△DBF，则CP=BF，利用CP=BC﹣BP，DE=BC可得到BF+BP=DE．

试题解析：解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°．∵点D是AB的中点，∴DB=DC，∴△DCB为等边三角形．∵DE⊥BC，∴DE=BC．故答案为： DE=BC．

（2）BF+BP=DE．理由如下：

∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，∴∠PDF=60°，DP=DF，而∠CDB=60°，∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB，∴∠CDP=∠BDF．在△DCP和△DBF中，∵DC=DB，∠CDP=∠BDF，DP=DF，∴△DCP≌△DBF（SAS），∴CP=BF，而CP=BC﹣BP，∴BF+BP=BC．∵DE=BC，∴BC=DE，∴BF+BP=DE．