Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M=∠D．

（1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由；
（2）若AE=16，BE=4，求线段CD的长；
（3）若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．

Answer 1

【答案】
（1）解：BC∥MD．

理由：∵∠M=∠D，∠M=∠C，∠D=∠CBM，

∴∠M=∠D=∠C=∠CBM，

∴BC∥MD；

（2）解：∵AE=16，BE=4，

∴OB= =10，

∴OE=10﹣4=6，

连接OC，

∵CD⊥AB，

∴CE= CD，

在Rt△OCE中，

∵OE2+CE2=OC2，即62+CE2=102，解得CE=8，

∴CD=2CE=16；

（3）解：如图2，

∵∠M= ∠BOD，∠M=∠D，

∴∠D= ∠BOD，

∵AB⊥CD，

∴∠D= ×90°=30°．

【解析】（1）根据圆周角定理可得出∠M=∠D=∠C=∠CBM，由此即可得出结论；（2）先根据AE=16，BE=4得出OB的长，进而得出OE的长，连接OC，根据勾股定理得出CE的长，进而得出结论；（3）根据题意画出图形，根据圆周角定理可知，∠M= ∠BOD，由∠M=∠D可知∠D= ∠BOD，故可得出∠D的度数．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用勾股定理的概念和垂径定理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．