Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，AC、DE相交于点O．
（1）求证：四边形ADCE是矩形．
（2）若∠AOE=60°，AE=4，求矩形ADCE对角线的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，

∴AB=DE，

又∵AB=AC，

∴DE=AC．

∵AB=AC，D为BC中点，

∴∠ADC=90°，

又∵D为BC中点，

∴CD=BD．

∴CD∥AE，CD=AE．

∴四边形AECD是平行四边形，

又∴∠ADC=90°，

∴四边形ADCE是矩形．

（2）解：∵四边形ADCE是矩形，

∴AO=EO，

∴△AOE为等边三角形，

∴AO=4，

故AC=8．

【解析】（1）根据四边形ABDE是平行四边形和AB=AC，推出AD和DE相等且互相平分，即可推出四边形ADCE是矩形．（2）根据∠AOE=60°和矩形的对角线相等且互相平分，得出△AOE为等边三角形，即可求出AO的长，从而得到矩形ADCE对角线的长．
【考点精析】利用等腰三角形的性质和平行四边形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．