Question

【题目】根据题意，解答下列问题：

（1）如图①，已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，求线段AB的长；
（2）如图②，类比（1）的求解过程，请你通过构造直角三角形的方法，求出两点M（3，4），N（﹣2，﹣1）之间的距离；
（3）如图③，P1（x1 ， y1），P2（x2 ， y2）是平面直角坐标系内的两点，请你利用图③构造直角三角形，并直接写出P1P2的长度（用含有x1 ， x2 ， y1 ， y2的代数式表示）．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图①，由y=0得，2x+4=0，

x=﹣2，

∴A（﹣2，0），

∴OA=2，

当x=0时，y=4，

∴B（0，4），

∴OB=4，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB= =2

（2）解：如图②，过M作MP⊥x轴，过N作NP⊥y轴，MP和NP交于P，则MP⊥NP，

∵M（3，4），N（﹣2，﹣1），

∴P（3，﹣1），

∴MP=4﹣（﹣1）=5，NP=3﹣（﹣2）=5，

在Rt△MNP中，由勾股定理得：MN= =5

（3）解：如图③，过P2作P2P⊥x轴，过P1作P1P⊥y轴，P1P和P2P交于P，则P1P⊥P2P，

∵P1（x1，y1），P2（x2，y2），

∴P（x1，y1），

∴P1P=x2﹣x1，P2P=y2﹣y1，

在Rt△P1P2P中，由勾股定理得：P1P2= ．

【解析】（1）如图①，由y=0得，2x+4=0，得到x=﹣2，A（﹣2，0），得到OA=2，当x=0时，y=4，得到B（0，4），OB=4，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB= =2；（2）如图②，过M作MP⊥x轴，过N作NP⊥y轴，MP和NP交于P，则MP⊥NP，得到M（3，4），N（﹣2，﹣1），P（3，﹣1）所以MP=4﹣（﹣1）=5，NP=3﹣（﹣2）=5，在Rt△MNP中，由勾股定理得：MN==5；（3）如图③，过P2作P2P⊥x轴，过P1作P1P⊥y轴，P1P和P2P交于P，则P1P⊥P2P，因为P1（x1，y1），P2（x2，y2），得到P（x1，y1），所以P1P=x2﹣x1，P2P=y2﹣y1，在Rt△P1P2P中，由勾股定理得：P1P22=（x2-x1 ）2+（y2-y1）2.
【考点精析】解答此题的关键在于理解一次函数的性质的相关知识，掌握一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小．