Question

【题目】如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．

（1）求证：四边形BFEP为菱形；

（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；

①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；

②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）①②2cm

【解析】试题分析：（1）利用定理:四条边都相等的四边形是菱形，证明四边形BFEP为菱形；

(2)①在直角三角形APE中，根据勾股定理求出EP=

②分两种情况讨论：第一：点Q和点C重合；第二：点P和点A重合

试题解析：（1）∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ

∴点B与点E关于PQ对称

∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF

又∵EF∥AB

∴∠BPF=∠EFP

∴∠EPF=∠EFP

∴EP=EF

∴BP=BF=FE=EP

∴四边形BFEP为菱形.

（2）①如图2

∵四边形ABCD是矩形

∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°

∵点B与点E关于PQ对称

∴CE="BC=5cm"

在RtΔCDE中，DE2=CE2-CD2，即DE2=52-32

∴DE=4cm

∴AE=AD-DE=5cm-4cm=1cm

在RtΔAPE中，AE=1，AP=3-PB=3-PE

∴EP2=12+（3-EP）2，解得：EP=cm.

∴菱形BFEP的边长为cm.

②当点Q与点C重合时，如图2，点E离A点最近，由①知，此时AE=1cm.

当点P与点A重合时，如图3.点E离A点最远，此时，四边形ABQE是正方形.

AE=AB=3cm

∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm.