Question

【题目】已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰Rt△PCQ，∠PCQ＝90°．探究并解决下列问题：

（1）如图1，若点P在线段AB上，且AC＝1+，PA＝，求线段PC的长．

（2）如图2，若点P在AB的延长线上，猜想PA2、PB2、PC2之间的数量关系，并证明．

（3）若动点P满足，则的值为　 ．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）AP2+BP2＝PQ2．理由见解析；（3）或．

【解析】

（1）在等腰直角三角形ACB中，由勾股定理先求得AB的长，然后根据PA的长，可求得PB的长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，从而可求得CD、PD的长，然后在Rt三角形CDP中依据勾股定理可求得PC的长；

（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AP=（AD+PD）=（DC+PD），PB=（DP-BD）=（PD-DC），可证明AP2+BP2=2PC2，因为在Rt△PCQ中，PQ2=2CP2，所以可得出AP2+BP2=PQ2的结论；

（3）根据点P所在的位置画出图形，然后依据题目中的比值关系求得PD的长（用含有CD的式子表示），然后在Rt△ACP和Rt△DCP中由勾股定理求得AC和PC的长度即可．

解：（1）如图①所示：

∵△ABC是等腰直直角三角形，AC＝，

∴AB＝ ，

∵PA＝，

∴PB＝AB﹣PA＝，

∵△ABC和△PCQ均为等腰直角三角形，

∴AC＝BC，PC＝CQ，∠ACB＝∠PCQ，

∴∠ACP＝∠BCQ，

在△APC和△BQC中，，

∴△APC≌△BQC（SAS）．

∴BQ＝AP＝，∠CBQ＝∠A＝45°．

∴△PBQ为直角三角形．

∴PQ＝．

∴PC＝PQ＝2．

故答案为：2；

（2）AP2+BP2＝PQ2．理由如下：

如图②：过点C作CD⊥AB，垂足为D．

∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，

∴CD＝AD＝DB．

∵AP2＝（AD+PD）2＝（DC+PD）2＝CD2+2DCPD+PD2，

PB2＝（DP﹣BD）2＝（PD﹣DC）2＝DC2﹣2DCPD+PD2，

∴AP2+BP2＝2CD2+2PD2，

∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2＝DC2+PD2，

∴AP2+BP2＝2PC2．

∵△CPQ为等腰直角三角形，

∴2PC2＝PQ2．

∴AP2+BP2＝PQ2．

（3）如图③：过点C作CD⊥AB，垂足为D．

①当点P位于点P1处时．

，

．

．

在Rt△CP1D中，由勾股定理得： ，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：，

．

②当点P位于点P2处时．

，

∴P2A＝AB＝DC．

在Rt△CP2D中，由勾股定理得：，

在Rt△ACD中，由勾股定理得： ，

．

综上所述，的比值为或；

故答案为：或．