Question

【题目】如图，△ABC 中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．证明：

（1）BD=DC；
（2）DE是⊙O切线．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如右图所示，

连接AD，

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，

又∵AB=AC，

∴BD=CD

（2）连接OD，

∵∠BAC=2∠BAD，∠BOD=2∠BAD，

∴∠BAC=∠BOD，

∴OD∥AC，

又∵DE⊥AC，

∴∠AED=90°，

∴∠ODB=∠AED=90°，

∴DE是⊙O的切线．

【解析】（1）连接AD，由于AB是直径，那么∠ADB=90°，而AB=AC，根据等腰三角形三线合一定理可知BD=CD；（2）连接OD，由于∠BAC=2∠BAD，∠BOD=2∠BAD，那么∠BAC=∠BOD，可得OD∥AC，而DE⊥AC，易证∠ODB=90°，从而可证DE是⊙O切线．
【考点精析】本题主要考查了圆周角定理和切线的判定定理的相关知识点，需要掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线才能正确解答此题．