Question

【题目】如图1，A，B分别在射线OA，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．

（1）求证：△PCE≌△EDQ；
（2）延长PC，QD交于点R．
①如图1，若∠MON=150°，求证：△ABR为等边三角形；
②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵点C、D、E分别是OA，OB，AB的中点，

∴DE=OC，∥OC，CE=OD，CE∥OD，

∴四边形ODEC是平行四边形，

∴∠OCE=∠ODE，

∵△OAP，△OBQ是等腰直角三角形，

∴∠PCO=∠QDO=90°，

∴∠PCE=∠PCO+∠OCE=∠QDO=∠ODQ=∠EDQ，

∵PC= AO=OC=ED，CE=OD= OB=DQ，

在△PCE与△EDQ中， ，

∴△PCE≌△EDQ；

（2）

解：①如图2，

连接RO，

∵PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，

∴AP=OR=RB，

∴∠ARC=∠ORC，∠ORQ=∠BRO，

∵∠RCO=∠RDO=90°，∠COD=150°，

∴∠CRD=30°，

∴∠ARB=60°，

∴△ARB是等边三角形；

②由（1）得，EQ=EP，∠DEQ=∠CPE，

∴∠PEQ=∠CED﹣∠CEP﹣∠DEQ=∠ACE﹣∠CEP﹣∠CPE=∠ACE﹣∠RCE=∠ACR=90°，

∴△PEQ是等腰直角三角形，

∵△ARB∽△PEQ，

∴∠ARB=∠PEQ=90°，

∴∠OCR=∠ODR=90°，∠CRD= ∠ARB=45°，

∴∠MON=135°，

此时P，O，B在一条直线上，△PAB为直角三角形，且∠APB=90°，

∴AB=2PE=2× PQ= PQ，

∴ =

【解析】（1）根据三角形中位线的性质得到DE=OC，∥OC，CE=OD，CE∥OD，推出四边形ODEC是平行四边形，于是得到∠OCE=∠ODE，根据等腰直角三角形的定义得到∠PCO=∠QDO=90°，根据等腰直角三角形的性质得到得到PC=ED，CE=DQ，即可得到结论（2）①连接RO，由于PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，得到AP=OR=RB，由等腰三角形的性质得到∠ARC=∠ORC，∠ORQ=∠BRO，根据四边形的内角和得到∠CRD=30°，即可得到结论；
②由（1）得，EQ=EP，∠DEQ=∠CPE，推出∠PEQ=∠ACR=90°，证得△PEQ是等腰直角三角形，根据相似三角形的性质得到ARB=∠PEQ=90°，根据四边形的内角和得到∠MON=135°，求得∠APB=90°，根据等腰直角三角形的性质得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．