Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AB=6，△BCD为等边三角形，点E为△BCD围成的区域（包括各边）内的一点，过点E作EM∥AB，交直线AC于点M，作EN∥AC，交直线AB于点N，则的最大值为_____.

Answer 1

【答案】

【解析】

作辅助线，构建30度的直角三角形将转化为NH，将，即：过A点作AM∥BC，过作交的延长线于点，，由△BCD围成的区域（包括各边）内的一点到直线AP的最大值时E在D点时，通过直角三角形性质和勾股定理求出DH’即可得到结论．

解：过A点作AP∥BC，过作交的延长线于点，

，，

四边形是平行四边形，

设，，

∵∠ACB=90°，∠CAB=60°，

∴∠CAM=90°，∠NAH=30°，

中，，

∵NE∥AC，NH∥AC，

∴E、N、H在同一直线上，

，

由图可知：△BCD围成的区域（包括各边）内的一点到直线AM距离最大的点在D点，

过D点作，垂足为.

当在点时，=取最大值.

∵∠ACB=90°，∠A=60°，AB=6，，

∴AC=3，AB=，四边形ACGH’是矩形，

∴，

∵△BCD为等边三角形，，

∴=,

∴，

∴的最大值为，

故答案为：．