Question

【题目】已知：如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，∠C=60°，CD=2AD,AB=4.

（1）在AB边上求作点P,使PC+PD最小：

（2）求出（1）中PC+PD的最小值.

Answer 1

【答案】（1）作法见解析；（2）PC+PD的最小值为8．

【解析】试题分析: （1）作D点关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于P，P即为所求；

（2）作D′E⊥BC于E，则EB=D′A=AD，先根据等边对等角得出∠DCD′=∠DD′C，然后根据平行线的性质得出∠D′CE=∠DD′C，从而求得∠D′CE=∠DCD′，得出∠D′CE=30°，根据30°角的直角三角形的性质求得D′C=2D′E=2AB，即可求得PC+PD的最小值．

试题解析:

（1）作D点关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于 P，P即为所求，此时 PC+PD=PC+PD′=CD′，根据两点之间线段最短可知此时 PC+PD 最小．

（2）作D′E⊥BC于E，

则EB=D′A=AD，

∵CD=2AD，

∴DD′=CD，

∴∠DCD′=∠DD′C，

∵∠A=∠B=90°，

∴四边形ABED′是矩形，

∴DD′∥EC，D′E=AB=4，

∴∠D′CE=∠DD′C，

∴∠D′CE=∠DCD′，

∵∠C=60°，

∴∠D′CE=30°，

∴D′C=2D′E=2AB=2×4=8；

∴PC+PD的最小值为8．