Question

【题目】问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB=140°，∠PCD=135°，求∠APC的度数．

（1）丽丽同学看过图形后立即口答出：∠APC=85°，请你补全她的推理依据．
如图2，过点P作PE∥AB，

∵AB∥CD，∴PE∥CD． （）
∴∠A+∠APE=180°．
∠C+∠CPE=180°． （）
∵∠PAB=140°，∠PCD=135°，
∴∠APE=40°，∠CPE=45°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=85°．（）
问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，求∠CPD与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．

（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系．

Answer 1

【答案】
（1）平行于同一条直线的两条直线平行,两直线平行,同旁内角互补,等量代换
（2）解：∠CPD=∠α+∠β，理由如下：

如图3所示，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β

（3）解：当P在BA延长线时，如图4所示：

过P作PE∥AD交CD于E，

同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠β﹣∠α；

当P在AB延长线时，如图5所示：

同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠α﹣∠β．

【解析】（1）平行线间出现折线过点P作PE∥AB，

如图2所示：

∵AB∥CD，

∴PE∥CD．（平行于同一条直线的两条直线平行）

∴∠A+∠APE=180°．

∠C+∠CPE=180°．（两直线平行同旁内角互补）

∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，

∴∠APE=50°，∠CPE=60°

∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．（等量代换）

所以答案是：平行于同一条直线的两条直线平行|两直线平行，同旁内角互补|等量代换；
（2）类比第1题，过平行线间的折线折点，构造出内错角，转化∠α、∠β，可得结论;
（3）类比第1题，过平行线间的折线折点，构造出内错角，转化∠α、∠β，须分类讨论，可得结论.

【考点精析】本题主要考查了平行线的判定与性质的相关知识点，需要掌握由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质才能正确解答此题．