Question

【题目】已知二次函数y=x2﹣2x+c（c＜0）的图象与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC．

（Ⅰ）求该抛物线的解析式和顶点坐标；

（Ⅱ）直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；

（Ⅲ）若有动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N，试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）y=x2﹣2x﹣3；（1，﹣4）；（Ⅱ）点F的坐标为（0，﹣2）；（Ⅲ）存在，满足题意的点Q的坐标为和．

【解析】分析：

（1）由已知条件易得点C的坐标为（0，c），结合OB=OC，点A在点B的左侧可得点B的坐标为（-c，0），把点B的坐标（-c，0）代入y=x2﹣2x+c中结合c<0即可求得c的值，从而得到抛物线的解析式，将所得解析式化为顶点式即可得到抛物线的顶点坐标；

（2）由（1）可知抛物线的对称轴为直线x=1，设点F的坐标为（0，m），则点F′的坐标为（2，m），由（1）可得点B、E的坐标，则由此可求得直线BE的解析式，把F′的坐标代入所得BE的解析式即可求得m的值，从而可得此时点F的坐标；

（3）如下图，设点P的坐标为（n，0），则PA=n+1，PB=PM=3﹣n，PN=﹣n2+2n-3，

作QR⊥PN，垂足为R，由S△PQN=S△APM，可得（n+1）（3﹣n）=（﹣n2+2n+3）QR化简整理可得：QR=1，然后分点Q在PN的右侧和左侧两种情况分别用含n的式子表达出点R和N的坐标，然后在Rt△QRN中由勾股定理用含n的式子表达出NQ2，即可求得NQ最小时n的值，由此即可求出对应的点Q的坐标了.

详解：

（Ⅰ）∵y=x2﹣2x+c（c＜0），

∴点C的坐标为（0，c），

∵OB=OC，点A在点B的左侧，

∴点B的坐标为（﹣c，0），

将（﹣c，0）代入y=x2﹣2x+c，

解得c=﹣3或c=0（舍去）

∴c=﹣3，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，配方得y=（x﹣1）2﹣4，

∴顶点坐标为（1，﹣4）；

（Ⅱ）设点F的坐标为（0，m），

∵对称轴为直线l：x=1，

∴点F关于直线的对称点F′的坐标为（2，m），

设直线BE的解析式为y=kx+b，

由（1）可知点B、E的坐标分别为（3，0），（1，﹣4），将两个坐标代入y=kx+b得：

，解得，

∴直线BE的解析式为y=2x﹣6，

∵点F′在直线BE上，

∴m=2×2﹣6=﹣2，

∴点F的坐标为（0，﹣2）；

（Ⅲ）存在，

如下图所示，设点P的坐标为（n，0），

则PA=n+1，PB=PM=3﹣n，PN=﹣n2+2n-3，

作QR⊥PN，垂足为R，

∵S△PQN=S△APM，

∴（n+1）（3﹣n）=（﹣n2+2n+3）QR，

∴QR=1，

①点Q在直线PN的右侧时，Q点坐标为（n+1，n2﹣4），R点的坐标为（n，n2﹣4），N点的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），

∴QR=1，RN=2n-1，

∴在Rt△QNR中，NQ2=1+（2n﹣1）2，

∴当n=时，NQ取最小值，此时Q点的坐标为，

②点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n﹣1，n2﹣4n）

同①可得：NQ2=1+（-2n+3）2，

∴当n=时，NQ取最小值，此时Q点的坐标为，

综上所述，满足题意点Q坐标为和．