Question

【题目】阅读理解：
【问题情境】金老师给“数学小达人”小明和小军提出这样一个问题：
如图1，△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AB+BD=AC．

【证明思路】小明的证明思路是：如图2，在AC上截取AE=AB，连接DE．……

小军的证明思路是：如图3，延长CB至点E，使BE=AB，连接AE．可以证得：AE=DE．……
（1）请你从他们的思路中，任意选择一种思路继续完成下一步的证明．
（2）【变式探究】如图4，金老师把“AD是∠BAC的平分线”改成“AD是BC边上的高”，其它条件不变，那么AB+BD=AC还成立吗？若成立，请证明；若不成立，写出正确结论，并说明理由．

（3）【迁移拓展】如图5，△ABC中，∠B=2∠C．求证：AC2—AB2=AB×BC．

Answer 1

【答案】
（1）解：小明的证明思路是：在AC上截取AE=AB，连接DE．（如图2）

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠EAD，

又∵AD=AD， ∴△ABD≌△AED，∴BD=DE，∠ABD=∠AED，

又∵∠AED=∠EDC+∠C，∠B=2∠C，

∴∠EDC=∠C，∴ DE=EC， 即AB+BD=AC．

小军的证明思路是：延长CB至点E，使BE=AB，连接AE．（如图3）

则∠E=∠BAE，∴∠ABC=2∠E，

∵∠ABC=2∠C，∴∠E=∠C，∴△AEC是等腰三角形．

∵∠ADE=∠DAC+∠C，∠DAE=∠BAD+∠BAE，

又∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠DAC，

∴∠ADE=∠DAE，∴△AED是等腰三角形．

∴EA=ED=AC，∴AB+BD=AC．

（2）解：AB+BD=AC不成立．正确结论是：AB+BD=CD．

方法1：如图4，在CD上截取DE=DB，

∵AD⊥BC， ∴ AD是BE的垂直平分线，

∴AE=AB， ∴∠B=∠AED，

∵∠AED =∠C+∠CAE，

∵∠B=2∠C，∴∠C=∠CAE，

∴ AE=EC， 即AB+BD=CD．

方法2：如图5，延长DB至点E，使BE=AB，则∠E=∠BAE，

∵∠ABD =∠E+∠BAE =2∠E，

∵∠B=2∠C，∴∠E=∠C，∴△AEC是等腰三角形．

∵AD⊥BC，∴CD=ED， 即AB+BD=CD．

（3）解：如图6，过点A作AD⊥BC于D．

由勾股定理得：AB2=BD2+AD2， AC2=CD2+AD2，

∴ AC2—AB2=CD2—BD2=（CD+BD）×（CD—BD）=BC×（CD—BD），

∵AB+BD=CD，∴ CD—BD=AB，

∴ AC2—AB2=BC×（CD—BD）=BC×AB，即AC2-AB2+AB×BC．

【解析】（1）根据已知条件和角平分线的性质，得到△ABD≌△AED，根据根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和和∠B=2∠C，得到∠EDC=∠C，根据等角对等边得到DE=EC， 即AB+BD=AC；（2）根据已知条件由AD⊥BC，得到AD是BE的垂直平分线，根据垂直平分线得到AB+BD=CD；（3）根据勾股定理和两等式相减，得到AC2-AB2+AB×BC．