Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），A点的坐标为（﹣1，0）．

（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线在第四象限上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，
求点P的坐标，并求出四边形ABPC的最大面积；
（3）若Q为抛物线对称轴上一动点，直接写出使△QBC为直角三角形的点Q的
坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（﹣1，0），C（0，﹣3）在y=x2+bx+c上，

∴ ，解得 ，

∴二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得0=x2﹣2x﹣3，解得x=3或x=﹣1，

∴B（3，0），且C（0，﹣3），

∴经过B、C两点的直线为y=x﹣3，

设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），如图，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，与直线BC交于点E，则E（x，x﹣3），

∵S四边形ABPC=S△ABC+S△BCP= ×4×3+ （3x﹣x2）×3=﹣ x2+ x+6= ，

∴当 时，四边形ABPC的面积最大，此时P点坐标为（ ，﹣ ），

∴四边形ABPC的最大面积为

（3）

解：∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴对称轴为x=1，

∴可设Q点坐标为（1，t），

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴BQ2=（1﹣3）2+t2=t2+4，CQ2=12+（t+3）2=t2+6t+10，BC2=18，

∵△QBC为直角三角形，

∴有∠BQC=90°、∠CBQ=90°和∠BCQ=90°三种情况，

① 当∠BQC=90°时，则有BQ2+CQ2=BC2，即t2+4+t2+6t+10=18，解得t= 或t= ，此时Q点坐标为（1， ）或（1， ）；

②当∠CBQ=90°时，则有BC2+BQ2=CQ2，即t2+4+18=t2+6t+10，解得t=2，此时Q点坐标为（1，2）；

③当∠BCQ=90°时，则有BC2+CQ2=BQ2，即18+t2+6t+10=t2+4，解得t=﹣4，此时Q点坐标为（1，﹣4）；

综上可知Q点的坐标为（1， ）或（1， ）或（1，2）或（1，﹣4）．

【解析】（1）把A、C两点坐标代入可求得b、c的值，可求得二次函数的解析式；（2）由抛物线解析式可求得B点坐标，由B、C坐标可求得直线BC解析式，可设出P点坐标，用P点坐标表示出四边形ABPC的面积，根据二次函数的性质可求得其面积的最大值及P点坐标；（3）由抛物线解析式可求得其对称轴，则可设出Q点的坐标，则可表示出QB2、QC2和BC2 ， 分∠BQC=90°、∠CBQ=90°和∠BCQ=90°三种情况，分别根据勾股定理得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点的坐标．