Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分线AP和∠ACB外角的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA=45°；②AF-CG=CA；③DE=DC；④FH=CD+GH；⑤CF=2CD+EG．其中正确的有（　　）

A. ①②④ B. ①②③ C. ①②④⑤ D. ①②③⑤

Answer 1

【答案】D

【解析】试题解析：①利用公式：∠CDA=∠ABC=45°，①正确；

②如图：延长GD与AC交于点P'，

由三线合一可知CG=CP'，

∵∠ADC=45°，DG⊥CF，

∴∠EDA=∠CDA=45°，

∴∠ADP=∠ADF，

∴△ADP'≌△ADF（ASA），

∴AF=AP'=AC+CP'=AC+CG，故②正确；

③如图：

∵∠EDA=∠CDA，

∠CAD=∠EAD，

从而△CAD≌△EAD，

故DC=DE，③正确；

④∵BF⊥CG，GD⊥CF，

∴E为△CGF垂心，

∴CH⊥GF，且△CDE、△CHF、△GHE均为等腰直角三角形，

∴HF=CH=EH+CE=GH+CE=GH+CD，故④错误；

⑤如图：作ME⊥CE交CF于点M，

则△CEM为等腰直角三角形，从而CD=DM，CM=2CD，EM=EC，

∵∠MFE=∠CGE，

∠CEG=∠EMF=135°，

∴△EMF≌△CEG（AAS），

∴GE=MF，

∴CF=CM+MF=2CD+GE，

故⑤正确；

故选D