Question

【题目】已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0．

（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；

（2）若抛物线y=x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0与x轴有两个交点都在x轴正半轴上，求m的取值范围；

（3）填空：若x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0的两根都大于1，则m的取值范围是_____．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) m＞;(3) m＞2.

【解析】试题分析: （1）表示出根的判别式，配方后得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根；

（2）设抛物线y=x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0与x轴两个交点的横坐标是x1，x2，根据两个交点都在x轴正半轴上得出x1+x2＞0，x1x2＞0，利用根与系数的关系列出不等式组，求解即可；

（3）设x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0的两根是x1，x2，根据两根都大于1得出x1+x2＞2，（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，根据根与系数的关系列出不等式组，求解即可．

试题解析:

（1）证明：∵△=[﹣（m+2）]2﹣4（2m﹣1）=m2+4m+4﹣8m+4=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4，

∵（m﹣2）2≥0，

∴（m﹣2）2+4＞0，

∴无论m取何实数时，此方程都有两个不相等的实数根；

（2）解：设抛物线y=x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0与x轴两个交点的横坐标是x1，x2，

则x1+x2=m+2，x1x2=2m﹣1．

根据题意，得，

解得m＞．

即m的取值范围是m＞ ；

（3）解：设x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0的两根是x1，x2，

则x1+x2=m+2，x1x2=2m﹣1．

根据题意，得，

解得m＞2．

故答案为m＞2．