Question

【题目】如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，有一宽度为1的刻度尺沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q，交直线AC于点M和点N，交x轴于点E和点F．

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）当点M和点N都在线段AC上时，连接EN，如果点E的坐标为（4，0），求sin∠ANE的值；

（3）在刻度尺平移过程中，当以点P、Q、N、M为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）A（5，0）、B（-3，0）、C（0，5）;(2) ;(3) 点N的坐标为（2，3）或（2+ ，3﹣）或（2﹣，3+）

【解析】（1）令y=0得： =0，解得x=5或x=-3．

∵点A在点B的右侧，

∴点A、B的坐标分为（5，0）、（-3，0）．

当x=0时，y=5，

∴点C的坐标为（0，5）．………………………………………………3分

（2）如图1，作EG⊥AC，垂足为点G．

∵点E的坐标为（4，0），

∴OE=4．

∵OA=OC=5，

∴AE=1，∠OAC=45°．

∴AF=FN=2，GE=AEsin45°=．………………5分

在Rt△EFN中，依据勾股定理可知NE===．………………6分

∴sin∠ANE===．……………………7分

（3）设直线AC的函数表达式为y=kx+b．

将点A和点C的坐标代入得： ，

解得k=﹣1，b=5．

∴直线AC的函数表达式为y=﹣x+5．………………9分

①当MN为边时，如图2所示：

设点Q（n， ），则点P（n+1， ），点N（n，﹣n+5）M(n+1，-n+4)．

∵QN=PM

∴，解得n=2．

∴点N的坐标为（2，3）．………………………………10分

当MN是平行四边形的对角线时，如图3所示：

设点F的坐标为（m，0），

则N（m，﹣m+5），M（m+1，﹣m+4）,

Q（m， ），P（m+1， ）．

∵QN = PM，

∴，解得m=2±．

∴点N的坐标为（2，3﹣）或（2﹣，3+）．

综上所述，以点P、Q、N、M为顶点的四边形是平行四边形时，点N的坐标为（2，3）或（2，3﹣）或（2﹣，3+）．…………………………12分