Question

【题目】如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交切线AC于点C，OC与圆O交于点E，连结BE、DE．

（1）若圆的半径是3，∠EBA是30度，求AD的长度．
（2）求证：∠BED=∠C．
（3）若OA=5，AD=8，求切线AC的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠EBA是30度，

∴∠AOF=60°，

∵OC⊥AD，

∴∠OAF=30°，AD=2AF，

∵AO=3，

∴AF= ，

∴AD=2AF=3

（2）解：∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O直径，

∴AB⊥AC．

则∠1+∠2=90°，

又∵OC⊥AD，

∴∠1+∠C=90°，

∴∠C=∠2，

而∠BED=∠2，

∴∠BED=∠C

（3）解：连接BD，

∵AB是⊙O直径，

∴∠ADB=90°，

∴BD= = =6，

∴△OAC∽△BDA，

∴OA：BD=AC：DA，

即5：6=AC：8，

∴AC=

【解析】（1）利用垂径定理和圆周角定理，先求AF再求AD；（2）可连BD，构成直径所对的90度圆周角，再利用圆周角定理可转化∠C=∠2，∠BED=∠2，得出结论；（3）可证△OAC∽△BDA，利用对应边成比例求出AC.
【考点精析】通过灵活运用切线的性质定理，掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径即可以解答此题．