Question

【题目】抛物线经过点A(－4，0)，B(2，0)且与轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，P为线段AC上一点，过点P作轴平行线，交抛物线于点D，当△ADC的面积最大时，求点P的坐标；

(3)如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴子F点，M、N分别是轴和线段EF上的动点，设M的坐标为(m，0)，若∠MNC＝90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．

图1 图2

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x﹣8；（2）（﹣2，﹣4）；（3）﹣10≤m≤15

【解析】试题分析：（1）只需用待定系数法就可求出抛物线的解析式；

（2）可用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-2x-8，设点P的坐标为（a，-2a-8），则点D（a，a2+2a-8），（-4＜a＜0），然后用割补法求得S△ADC=-2（a+2）2+8，从而可求出△ADC的面积最大时点P的坐标；

（3）易求得OF=1、EF=9、OC=8．设FN=n，（0≤n≤9），然后分三种情况（Ⅰ．M与点F重合，Ⅱ．M在点F左侧，Ⅲ．M在点F右侧）讨论，运用相似三角形的性质均可得到m=-n2+8n-1（0≤n≤9）．由m=-n2+8n-1=-（n-4）2+15可得到m最大值为15，再由n=0时m=-1，n=9时m=-10可得m最小值为-10，从而可得到m的取值范围．

解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣4，0），B（2，0），

∴ ，

解得 ．

∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣8．

（2）如图1，

令x=0，得y=﹣8，

∴点C的坐标为（0，﹣8）．

设直线AC的解析式为y=kx+t，

则，

解得：，

∴直线AC的解析式为y=﹣2x﹣8．

设点P的坐标为（a，﹣2a﹣8），则点D（a，a2+2a﹣8），（﹣4＜a＜0），

∴PD=（﹣2a﹣8）﹣（a2+2a﹣8）=﹣a2﹣4a，

∴S△ADC=S△APD+S△CPD

=PD[a﹣（﹣4）]+PD（0﹣a）

=2PD=﹣2（a2+4a）

=﹣2（a+2）2+8，

∴当a=﹣2时，S△ADC取到最大值为8，此时点P的坐标为（﹣2，﹣4）．

（3）由y=x2+2x﹣8=（x+1）2﹣9得E（﹣1，﹣9）、C（0，﹣8），

则有OF=1、EF=9、OC=8．

设FN=n，（0≤n≤9），

Ⅰ．当M与点F重合时，此时m=﹣1，n=8，显然成立；

Ⅱ．当M在点F左侧，作NQ⊥y轴于点Q，如图2①，此时m＜﹣1．

∵∠MNC=∠FNQ=90°，∴∠MNF=∠CNQ．

∵∠MFN=∠CQN=90°，

∴△MFN∽△CQN，

∴=，

∴=，

∴m=﹣n2+8n﹣1．

Ⅲ．当M在点F右侧，作NQ′⊥y轴于点Q′，如图2②，此时m＞﹣1．

∵∠MNC=∠FNQ′=90°，∴∠MNF=∠CNQ′．

∵∠MFN=∠CQ′N=90°，

∴△MFN∽△CQ′N，

∴=，

∴=，

∴m=﹣n2+8n﹣1．

综上所述：m=﹣n2+8n﹣1，（0≤n≤9）．

∴m=﹣n2+8n﹣1=﹣（n﹣4）2+15，

∴当n=4时，m取到最大值为15．

∵n=0时m=﹣1，n=9时m=﹣10，

∴m取到最小值为﹣10，

∴m的取值范围是﹣10≤m≤15．