Question

【题目】已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：ACAD=ABAE；
（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接DE，

∵AE是直径，

∴∠ADE=90°，

∴∠ADE=∠ABC，

∵∠DAE=∠BAC，

∴△ADE∽△ABC，

∴ = ，

∴ACAD=ABAE

（2）解：连接OD，

∵BD是⊙O的切线，

∴OD⊥BD，

在RT△OBD中，OE=BE=OD，

∴OB=2OD，

∴∠OBD=30°，

同理∠BAC=30°，

在RT△ABC中，AC=2BC=2×2=4．

【解析】（1）连接DE，根据圆周角定理求得∠ADE=90°，得出∠ADE=∠ABC，进而证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可求得结论；（2）连接OD，根据切线的性质求得OD⊥BD，在RT△OBD中，根据已知求得∠OBD=30°，进而求得∠BAC=30°，根据30°的直角三角形的性质即可求得AC的长．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用切线的性质定理和相似三角形的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．