Question

【题目】把一个含45°角的直角三角板BEF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点B重合，联结DF，点M，N分别为DF，EF的中点，联结MA，MN．

（1）如图1，点E，F分别在正方形的边CB，AB上，请判断MA，MN的数量关系和位置关系，直接

写出结论；

（2）如图2，点E，F分别在正方形的边CB，AB的延长线上，其他条件不变，那么你在（1）中得到的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

图1 图2

Answer 1

【答案】（1）MA=MN，MA⊥MN；（2）成立，理由详见解析

【解析】

试题（1）连接DE，先根据直角三角形的性质得出AM=DF，再根据△BEF是等腰直角三角形得出AF=CE，由SAS定理得出△ADF≌△CDE，故DE=DF．再根据点M，N分别为DF，EF的中点，得出MN是△EFD的中位线，故MN=DE，MN∥DE，再根据平行线的性质及全等三角形的性质即可得出结论；

（2）连接DE，由直角三角形的性质得出MA=DF=MD=MF，故∠1=∠3．再由点N是EF的中点，得出MN是△DEF的中位线，所以MN=DE，MN∥DE．根据△BEF是等腰直角三角形可知BF=BF，∠EBF=90°．根据SAS定理得出△ADF≌△CDE，故DF=DE，∠1=∠2，MA=MN，∠2=∠3．再根据∠2+∠4=∠ABC=90°，∠4=∠5得出∠3+∠5=90°，由三角形内角和定理可知∠6=180°﹣（∠3+∠5）=90°，故可得出结论．

试题解析：（1）解：连接DE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD=AB=BC，∠DAB=∠DCE=90°，

∵点M是DF的中点，

∴AM=DF．

∵△BEF是等腰直角三角形，

∴AF=CE，

在△ADF与△CDE中，

，

∴△ADF≌△CDE（SAS），

∴DE=DF．

∵点M，N分别为DF，EF的中点，

∴MN是△EFD的中位线，

∴MN=DE，

∴AM=MN；

∵MN是△EFD的中位线，

∴MN∥DE，

∴∠FMN=∠FDE．

∵AM=MD，

∴∠MAD=∠ADM，

∵∠AMF是△ADM的中位线，

∴∠AMF=2∠ADM．

∵△ADF≌△CDE，

∴∠ADM=∠DEC，

∴∠ADM+∠DEC+∠FDE=∠FMN+∠AMF=90°，

∴MA⊥MN．

∴MA=MN，MA⊥MN．

（2）成立．

理由：连接DE．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°．

在Rt△ADF中，

∵点M是DF的中点，

∴MA=DF=MD=MF，

∴∠1=∠3．

∵点N是EF的中点，

∴MN是△DEF的中位线，

∴MN=DE，MN∥DE．

∵△BEF是等腰直角三角形，

∴BF=BF，∠EBF=90°．

∵点E、F分别在正方形CB、AB的延长线上，

∴AB+BF=CB+BE，即AF=CE．

在△ADF与△CDE中，

∵

∴△ADF≌△CDE，

∴DF=DE，∠1=∠2，

∴MA=MN，∠2=∠3．

∵∠2+∠4=∠ABC=90°，∠4=∠5，

∴∠3+∠5=90°，

∴∠6=180°﹣（∠3+∠5）=90°，

∴∠7=∠6=90°，MA⊥MN．