Question

【题目】已知直线．

（1）如下图，点在直线的左侧，请写出，，之间的数量关系，并说明理由：

（2）如下图，当点在线段上时，分别平分，，此时的度数为_________°

（3）如下图，当点在直线的左侧时，分别平分，，请直接写出和的数量关系 ；

（4）如下图，当点在直线的右侧时，分别平分，，请直接写出和的数量关系 ；

Answer 1

【答案】（1）∠ABE＋∠CDE＝∠BED，理由见解析；（2）90；（3）∠BFD＝∠BED；（4）2∠BFD＋∠BED＝360°

【解析】

（1）首先作EF∥AB，根据直线AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE＝∠1，∠CDE＝∠2，据此推得∠ABE＋∠CDE＝∠BED即可．

（2）作GF∥AB，根据∠ABD＋∠CDB＝180°，分别平分，，得到∠BFD＝∠BFG＋∠DFG=∠ABF＋∠CDF=(∠ABD＋∠CDB)=90°；

（3）首先根据BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，推得∠ABF＋∠CDF＝（∠ABE＋∠CDE）；然后由（1），可得∠BFD＝∠ABF＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠CDE，据此推得∠BFD＝∠BED．

（4）首先过点E作EG∥CD，再根据AB∥CD，EG∥CD，推得AB∥CD∥EG，所以∠ABE＋∠BEG＝180°，∠CDE＋∠DEG＝180°，据此推得∠ABE＋∠CDE＋∠BED＝360°；然后根据∠BFD＝∠ABF＋∠CDF，以及BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，推得2∠BFD＋∠BED＝360°即可．

（1）∠ABE＋∠CDE＝∠BED．

理由：如图1，作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠ABE＝∠1，∠CDE＝∠2，

∴∠ABE＋∠CDE＝∠1＋∠2＝∠BED，

即∠ABE＋∠CDE＝∠BED．

故答案为：∠ABE＋∠CDE＝∠BED；

（2）如图，作GF∥AB，

∴AB∥GF∥CD

∴∠ABD＋∠CDB＝180°，∠BFG=∠ABF，∠DFG=∠CDF

∵分别平分，，

∴∠BFD＝∠BFG＋∠DFG=∠ABF＋∠CDF=∠ABD +∠CDB =(∠ABD＋∠CDB)=90°，

故答案为：90；

（3）∠BFD＝∠BED．

理由：如图

∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，

∴∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，

∴∠ABF＋∠CDF＝∠ABE＋∠CDE＝（∠ABE＋∠CDE），

由（1）可得∠BFD＝∠ABF＋∠CDF＝（∠ABE＋∠CDE）

又∠BED＝∠ABE＋∠CDE，

∴∠BFD＝∠BED．

（4）2∠BFD＋∠BED＝360°．

理由：如图3，过点E作EG∥CD，

∵AB∥CD，EG∥CD，

∴AB∥CD∥EG，

∴∠ABE＋∠BEG＝180°，∠CDE＋∠DEG＝180°，

∴∠ABE＋∠CDE＋∠BED＝360°，

由（1）知，∠BFD＝∠ABF＋∠CDF，

又∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，

∴∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，

∴∠BFD＝（∠ABE＋∠CDE），

∴2∠BFD＋∠BED＝360°．

故答案为：2∠BFD＋∠BED＝360°．