Question

【题目】如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD＝30°，BD＝CD＝AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．

请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：

（1）如图2所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD＝5cm，∠B＝30°时，求△ACD的周长．

（2）如图3所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，求BE：EA的值．

（3）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE＝DC，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，若BP＝2，求PQ的长．

Answer 1

【答案】（1）15cm；（2）3：1；（3）PQ＝1.

【解析】

（1）根据线段垂直平分线的性质知CD＝BD，得出△ACD的周长＝AC+AB；

（2）连接AD．利用等腰三角形的性质、垂直的定义推知∠B＝∠ADE＝30°，然后由”30度角所对的直角边是斜边的一半“分别求得BE、AE的值，即可得出结果；

（3）根据全等三角形的判定定理SAS证明△BAE≌△ACD，根据全等三角形的对应角相等，以及三角形外角的性质，可以得到∠PBQ＝30°，根据直角三角形的性质得出PQ＝1，再由勾股定理求出BQ即可．

解：（1）∵DE是线段BC的垂直平分线，∠ACB＝90°，

∴CD＝BD，AD＝BD．

又∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，

∴

∴△ACD的周长=AC+AB=3BD=15cm．

故答案为：15cm；

（2）如图，连接AD，

∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC的中点，

∴∠BAD＝60°．

又∵DE⊥AB，

∴∠B＝∠ADE＝30°，

∴

∴

又∵

∴BE：AE＝3：1．

故答案为：3：1．

（3）∵△ABC为等边三角形．

∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，

在△BAE和△ACD中，

∴△BAE≌△ACD（SAS），

∴∠ABE＝∠CAD．

∵∠BPQ为△ABP外角，

∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD．

∴∠BPQ＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°

∵BQ⊥AD，

∴∠PBQ＝30°，

∴BP=2PQ=2，

∴PQ=1.