Question

【题目】如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．

（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；

（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；

（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变？若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）45°；（3）.

【解析】试题分析：

（1）由正方形的性质，用SAS证明△BAE≌△DAG；

（2）作FH⊥MN于H，证明△EFH≌△ABE，再证△CHF是等腰直角三角形；

（3）结合（1）（2），可证明△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，再用相似三角形的性质得到结论.

试题解析：

（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，

∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，

∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，

∴∠BAE=∠DAG，

∴△BAE≌△DAG．

（2）解：∠FCN=45°，

理由是：作FH⊥MN于H，

∵∠AEF=∠ABE=90°，

∴∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，

∴∠FEH=∠BAE，

又∵AE=EF，∠EHF=∠EBA=90°，

∴△EFH≌△ABE，

∴FH=BE，EH=AB=BC，

∴CH=BE=FH，

∵∠FHC=90°，

∴∠FCN=45°．

（3）解：当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，

理由是：作FH⊥MN于H，

由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，

结合（1）（2）得∠FEH=∠BAE=∠DAG，

又∵G在射线CD上，

∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，

∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，

∴EH=AD=BC=b，

∴CH=BE，

∴；

在Rt△FEH中，tan∠FCN=，

∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN=．