Question

【题目】在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，点M为BC边上一动点（点M与点B、C不重合），连接AM，过点M作MN⊥AM，垂足为M，MN交CD或CD的延长线于点N．

（1）求证：△CMN∽△BAM；

（2）设BM=x，CN=y，求y关于x的函数解析式．当x取何值时，y有最大值，并求出y的最大值；

（3）当点M在BC上运动时，求使得下列两个条件都成立的b的取值范围：①点N始终在线段CD上，②点M在某一位置时，点N恰好与点D重合．

Answer 1

【答案】（1）证明见试题解析；（2），当x=时，y取最大值，为；（3）b=2a．

【解析】

试题分析：（1）由矩形的性质可得∠B=∠C=90°，要证△CMN∽△BAM，只需证∠BAM=∠CMN即可；

（2）由△CMN∽△BAM即可得到y与x的函数解析式，然后只需运用配方法就可求出y的最大值；

（3）由点M在BC上运动（点M与点B、C不重合），可得0＜x＜b，要满足条件①，应保证当0＜x＜b时，y≤a恒成立，要满足条件②，需存在一个x，使得y=a，综合条件①和②，当0＜x＜b时y最大值应为a，然后结合（2）中的结论，就可解决问题．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，∴∠BAM+∠AMB=90°．∵MN⊥AM，即∠AMN=90°，∴∠CMN+∠AMB=90°，∴∠BAM=∠CMN，∴△CMN∽△BAM；

（2）∵△CMN∽△BAM，∴．∵BM=x，CN=y，AB=a，BC=AD=b，∴，∴=．∵＜0，∴当x=时，y取最大值，最大值为；

（3）由题可知：当0＜x＜b时，y的最大值为a，即=a，解得：b=2a．∴要同时满足两个条件，b的值为2a．