Question

【题目】毕达哥拉斯学派对”数”与”形”的巧妙结合作了如下研究：

名称及图形 几何点数 层数	三角形数	正方形数	五边形数	六边形数
第一层几何点数	1	1	1	1
第二层几何点数	2	3	4	5
第三层几何点数	3	5	7	9
…	…	…	…	…
第六层几何点数
…	…	…	…	…
第n层几何点数

请写出第六层各个图形的几何点数，并归纳出第n层各个图形的几何点数．

Answer 1

【答案】6、11、16、21、n、2n﹣1、3n﹣2、4n﹣3．

【解析】

试题分析：首先看三角形数，根据前三层的几何点数分别是1、2、3，可得第六层的几何点数是6，第n层的几何点数是n；然后看正方形数，根据前三层的几何点数分别是1=2×1﹣1、3=2×2﹣1、5=2×3﹣1，可得第六层的几何点数是2×6﹣1=11，第n层的几何点数是2n﹣1；再看五边形数，根据前三层的几何点数分别是1=3×1﹣2、2=3×2﹣2、3=3×3﹣2，可得第六层的几何点数是3×6﹣2=16，第n层的几何点数是3n﹣2；最后看六边形数，根据前三层的几何点数分别是1=4×1﹣3、5=4×2﹣3、9=4×3﹣3，可得第六层的几何点数是4×6﹣3=21，第n层的几何点数是4n﹣3，据此解答即可．

解：∵前三层三角形的几何点数分别是1、2、3，

∴第六层的几何点数是6，第n层的几何点数是n；

∵前三层正方形的几何点数分别是：1=2×1﹣1、3=2×2﹣1、5=2×3﹣1，

∴第六层的几何点数是：2×6﹣1=11，第n层的几何点数是2n﹣1；

∵前三层五边形的几何点数分别是：1=3×1﹣2、2=3×2﹣2、3=3×3﹣2，

∴第六层的几何点数是：3×6﹣2=16，第n层的几何点数是3n﹣2；

前三层六边形的几何点数分别是：1=4×1﹣3、5=4×2﹣3、9=4×3﹣3，

∴第六层的几何点数是：4×6﹣3=21，第n层的几何点数是4n﹣3．

名称及图形 几何点数 层数	三角形数	正方形数	五边形数	六边形数
第一层几何点数	1	1	1	1
第二层几何点数	2	3	4	5
第三层几何点数	3	5	7	9
…	…	…	…	…
第六层几何点数	6	11	16	21
…	…	…	…	…
第n层几何点数	n	2n﹣1	3n﹣2	4n﹣3

故答案为：6、11、16、21、n、2n﹣1、3n﹣2、4n﹣3．