Question

【题目】如图①，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在边CD上取一点E，将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F．

（1）求CE的长；

（2）建立平面直角坐标系如图②所示，在x轴上找一点P，使PA+PE的值最小，求出最小值和点P的坐标；

（3）如图③，DE的延长线与AF的延长线交于点G，在y轴上是否存在点M，使△FGM是直角三角形？如果存在，求出点M的坐标：如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）3（2）P（，0），最小值为（3）存在；M坐标为（0，﹣）或（0，﹣4.5）

【解析】

（1）设CE＝x，知DE＝EF＝8﹣x，由AD＝AF＝10，AB＝8知BF＝6，CF＝4，根据CE2+CF2＝EF2求解可得．

（2）作点E关于x轴的对称点Q，连接AQ，与x轴的交点即为所求，先得出DQ的长度，再根据AQ＝可得最小值；再求出直线AQ解析式为y＝﹣x+8，据此进一步求解可得．

（3）先证△AOF∽△GCF得，据此求得G（10，﹣），根据点M（0，a），F（6，0）知MF2＝a2+36，GM2＝102+（a+）2，FG2＝16+（）2，分MF2+GM2＝FG2，FG2+GM2＝MF2，FG2+MF2＝GM2三种情况分别求解可得．

（1）如图①，

设CE＝x，

则DE＝EF＝8﹣x，

∵AD＝AF＝10，AB＝8，

∴BF＝6，

∴CF＝4，

在Rt△CEF中，由CE2+CF2＝EF2得x2+42＝（8﹣x）2，

解得x＝3，即CE＝3；

（2）如图②，作点E关于x轴的对称点Q，连接AQ，与x轴的交点即为所求．

则CE＝CQ＝3，

∴点Q（10，﹣3），

∴DQ＝CD+CQ＝11，

∴AQ＝＝＝，

由A（0，8），Q（10，﹣3）可得直线AQ解析式为y＝﹣x+8，

当y＝0时，﹣x+8＝0，

解得：x＝，

所以点P（，0），最小值为；

（3）如图③，设M（0，a），

∵∠AOF＝∠GCF＝90°，∠AFO＝∠GFC，

∴△AOF∽△GCF，

∴，即，

解得GC＝，

则G（10，﹣），

∵F（6，0），

∴MF2＝62+a2＝a2+36，GM2＝102+（a+）2，FG2＝（10﹣6）2+（﹣﹣0）2＝16+（）2，

①若MF2+GM2＝FG2，即a2+36+102+（a+）2＝16+（）2，

整理，得：3a2+16a+180＝0，

此方程无解；

②若FG2+GM2＝MF2，即16+（）2+102+（a+）2＝a2+36，

解得a＝﹣，则M（0，﹣）；

③若FG2+MF2＝GM2，即16+（）2+a2+36＝102+（a+）2，

解得a＝﹣4.5，则M（0，﹣4.5）；

综上，点M的坐标为（0，﹣）或（0，﹣4.5）．