Question

【题目】如图，在⊙O中，AB为直径，D、E为圆上两点，C为圆外一点，且∠E+∠C=90°．

（1）求证：BC为⊙O的切线．
（2）若sinA= ，BC=6，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵∠A与∠E所对的弧都是 ，

∴∠A=∠E，

又∵∠E+∠C=90°，

∴∠A+∠C=90°，

在△ABC中，∠ABC=180°﹣90°=90°，

∵AB为直径，

∴BC为⊙O的切线

（2）解：∵sinA= ，BC=6，

∴ = ，

即 = ，

解得AC=10，

由勾股定理得，AB= = =8，

∵AB为直径，

∴⊙O的半径是 ×8=4

【解析】（1）根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠E，再根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC=90°，然后根据切线的定义证明即可；（2）根据∠A的正弦求出AC，利用勾股定理列式计算求出AB，然后求解即可．本题考查了切线的判定，锐角三角函数，解直角三角形，勾股定理，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记切线的概念并求出直角是解题的关键．