Question

【题目】如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=30cm，BC=25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s．

（1）几秒后P、Q两点相距25cm？

（2）几秒后△PCQ与△ABC相似？

（3）设△CPQ的面积为S1，△ABC的面积为S2，在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S1：S2=2：5？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．

Answer 1

【答案】（1）10秒后P、Q两点相距25cm；（2）故秒或秒后△PCQ与△ABC相似；

（3）运动10秒或15秒时，S1：S2=2：5．

【解析】

试题分析：（1）设x秒后P、Q两点相距25cm，用x表示出CP、CQ，根据勾股定理列出方程，解方程即可；

（2）分△PCQ∽△ACB和△PCQ∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出关系式，解方程即可；

（3）用t分别表示出CP、CQ，根据题意列出方程，解方程即可．

解：（1）设x秒后P、Q两点相距25cm，

则CP=2xcm，CQ=（25﹣x）cm，

由题意得，（2x）2+（25﹣x）2=252，

解得，x1=10，x2=0（舍去），

则10秒后P、Q两点相距25cm；

（2）设y秒后△PCQ与△ABC相似，

当△PCQ∽△ACB时，=，即=，

解得，y=，

当△PCQ∽△BCA时，=，即=，

解得，y=，

故秒或秒后△PCQ与△ABC相似；

（3）△CPQ的面积为S1=×CQ×CP=×2t×（25﹣t）=﹣t2+25t，

△ABC的面积为S2=×AC×BC=375，

由题意得，5（﹣t2+25t）=375×2，

解得，t1=10，t2=15，

故运动10秒或15秒时，S1：S2=2：5．